劳斯–赫尔维茨稳定性判据（英语：Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理论中的一个数学判据，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯在1876年提出的快速算法，可以判断一线性系统其特征方程式的根是否都有负的实部[1]。德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中（此方阵称为赫维兹矩阵），证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值[2]。二个程序是等价的，而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。
此稳定性判据之所以重要，是因为若线性系统之特征方程式的根_p_均有负的实部，表示其解_ept_为稳定的（BIBO稳定）。因此稳定性判据提供了方式，可以在不求解线性系统的运动方程的情形下，判断其是否只有稳定解。对于离散系统，对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据来判断。随着电脑的进步，此稳定性判据变的较少使用，另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式，得到其解的近似值。
劳斯–赫尔维茨稳定性判据※
根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性，需要求出系统的全部特征根，因此希望使用一种间接判断系统特征根是否全部位于 \(s\) 左半平面的代替方法。劳斯和赫尔维茨分别于 1877 年和 1895 年独立提出了判断系统稳定性的代数判据，称为劳斯-赫尔维茨稳定判据。这种判据以线性系统特征方程的系数为依据，其数学证明从略。
（1）赫尔维茨稳定判据※
设线性系统的特征方程为
\[D(s) = a_0s^n + a_1s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0, \quad a_0 > 0 \quad (3-68)\]则使线性系统稳定的必要条件是：在特征方程(3-68)中各项系数为正数。
上述判断稳定性的必要条件是容易证明的，因为根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：
\[\frac{a_1}{a_0} = -\sum_{i=1}^{n}s_i, \quad \frac{a_2}{a_0} = \sum_{i,j=1 \atop i \neq j}^{n}s_is_j\]\[\frac{a_3}{a_0} = -\sum_{i,j,k=1 \atop i \neq j \neq k}^{n}s_is_js_k, \quad \cdots, \quad \frac{a_n}{a_0} = (-1)^n \prod_{i=1}^{n}s_i\]
在上述关系式中，所有比值必须大于零，否则系统至少有一个正实部根。然而，这一条件是不充分的，因为各项系数为正数的系统特征方程，完全可能拥有正实部的根。式中，\(s_i, s_j, s_k\) 表示系统特征方程的根。
根据赫尔维茨稳定判据，线性系统稳定的充分且必要条件应是：由系统特征方程(3-68)各项系数所构成的主行列式
\[\Delta_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & \cdots & 0 & 0 \\ a_0 & a_2 & a_4 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & a_n \end{vmatrix}\]及其顺序主子式 \(\Delta_i (i=1,2,\cdots,n-1)\) 全部为正，即
\[\Delta_1 = a_1 > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{vmatrix} > 0, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 \\ a_0 & a_2 & a_4 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{vmatrix} > 0, \cdots, \Delta_n > 0\]对于 \(n \leq 4\) 的线性系统，其稳定的充分必要条件还可以表示为如下简单形式：
\(n=2\)，特征方程的各项系数为正。
\(n=3\)，特征方程的各项系数为正，且 \(a_1a_2 - a_0a_3 > 0\)。
\(n=4\)，特征方程的各项系数为正，且 \(\Delta_2 = a_1a_2 - a_0a_3 > 0\)，以及 \(\Delta_2 > a_3^2a_4/a_3\)。
当系统特征方程的次数较高时，应用赫尔维茨稳定判据的计算工作量较大。有人业已证明：在特征方程的所有系数为正的条件下，若所有奇次顺序赫尔维茨行列式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨行列式亦为正；反之亦然。这就是所谓李纳德-威帕特稳定判据。
（2）劳斯稳定判据※
劳斯稳定判据为表格形式，见表 3-4 劳斯表。劳斯表的前两行由系统特征方程(3-68)的系数直接构成。劳斯表中的第一行，由特征方程的第一，三，五，…项系数组成；第二行，由第二，四，六，…项系数组成。劳斯表中以后各行的数值，需按表 3-4 所示逐行计算，凡在运算过程中出现的空位，均置以零，这种过程一直进行到第 \(n\) 行为止，第 \(n+1\) 行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数 \(a_n\)。表中系数排列呈上三角形。
| 表 3-4 劳斯表 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| \(s^n\) | \(a_0\) | \(a_2\) | \(a_4\) | \(a_6\) | ... |
| \(s^{n-1}\) | \(a_1\) | \(a_3\) | \(a_5\) | \(a_7\) | ... |
| \(s^{n-2}\) | \(c_{15} = \frac{a_1a_2 - a_0a_3}{a_1}\) | \(c_{23} = \frac{a_1a_4 - a_2a_3}{a_1}\) | \(c_{33} = \frac{a_1a_6 - a_3a_5}{a_1}\) | \(c_{43}\) | ... |
| \(s^{n-3}\) | \(c_{14} = \frac{c_{13}a_3 - a_1c_{23}}{c_{13}}\) | \(c_{24} = \frac{c_{13}a_5 - a_1c_{33}}{c_{13}}\) | \(c_{34} = \frac{c_{13}a_7 - a_1c_{43}}{c_{13}}\) | \(c_{44}\) | ... |
| \(s^{n-4}\) | \(c_{15} = \frac{c_{14}c_{23} - c_{13}c_{24}}{c_{14}}\) | \(c_{25} = \frac{c_{14}c_{33} - c_{13}c_{34}}{c_{14}}\) | \(c_{35} = \frac{c_{14}c_{43} - c_{13}c_{44}}{c_{14}}\) | \(c_{45}\) | ... |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(s^2\) | \(c_{1,n-1}\) | \(c_{2,n-1}\) | |||
| \(s^1\) | \(c_{1,n}\) | ||||
| \(s^0\) | \(c_{1,n+1} = a_n\) | ||||
按照劳斯稳定判据，由特征方程(3-68)所表征的线性系统稳定的充分且必要条件是：劳斯表中第一列各值为正。如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程(3-68)的正实部根的数目。
劳斯稳定判据与赫尔维茨稳定判据在实质上是相同的。显然，劳斯表中第一列各数与各顺序赫尔维茨行列式之间，存在如下关系：\(a_1 = \Delta_1, c_{13} = \Delta_2/\Delta_1, c_{14} = \Delta_3/\Delta_2, c_{15} = \Delta_4/\Delta_3, \cdots, c_{1,n} = \Delta_{n-1}/\Delta_{n-2}, c_{1,n+1} = \Delta_n/\Delta_{n-1}\)。因此，在 \(a_0 > 0\) 的情况下，如果所有的顺序赫尔维茨行列式为正，则劳斯表中第一列的所有元素必大于零。
劳斯稳定判据的特殊情况※
当应用劳斯稳定判据分析线性系统的稳定性时，有时会遇到下面两种特殊情况，使得劳斯表中的计算无法进行到底，因此需要进行相应的数学处理，处理的原则是不影响劳斯稳定判据的判别结果。
(1) 劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零※
此时，计算劳斯表下一行的第一个元时，将出现无穷大，使劳斯稳定判据的运用失效。例如，特征方程为
\[D(s) = s^3 - 3s + 2 = 0\]其劳斯表
| \(s^3\) | 1 | \(-3\) |
| \(s^2\) | 0 | 2 |
| \(s^1\) | \(\infty\) | |
| \(s^0\) |
为了克服这种困难，可以用因子 \((s+a)\) 乘以原特征方程，其中 \(a\) 可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定判据，可以防止上述特殊情况的出现。例如，以 \((s+3)\) 乘以原特征方程，得新特征方程为
\[s^4 + 3s^3 - 3s^2 - 7s + 6 = 0\]列出新劳斯表：
| \(s^4\) | 1 | \(-3\) | 6 |
| \(s^3\) | 3 | \(-7\) | 0 |
| \(s^2\) | \(-2/3\) | 6 | 0 |
| \(s^1\) | 20 | 0 | 0 |
| \(s^0\) | 6 |
由新劳斯表可知，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。的确，若用因式分解法，原特征方程可分解为
\[D(s) = s^3 - 3s + 2 = (s - 1)^2(s + 2) = 0\]有两个 \(s=1\) 的正实部根。
(2) 劳斯表中出现全零行※
这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。例如，两个大小相等但符号相反的实根和(或)一对共轭纯虚根，或者是对称于实轴的两对共轭复根。
当劳斯表中出现全零行时，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程 \(F(s) = 0\)，并辅助方程对复变量 \(s\) 求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，便可按劳斯稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完整的劳斯计算表。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根，均可由辅助方程求得。
