根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹。
设控制系统如图所示，其闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\]令闭环传递函数的分母为零，可得闭环系统特征方程
\[D(s)=1+G(s)H(s)=0\]当系统有 m 个开环零点和 n 个开环极点时，上式等价为
\[\frac{K^{*}\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}=-1\]式中，\(z_i\) 为已知的开环零点；\(p_i\) 为已知的开环极点；\(K^{*}\) 从零变到无穷。这就是根轨迹方程。
将开环传递函数变换成零极点形式，其开环根轨迹增益 \(K^{*}\) 才是分子的系数
| 序号 | 内容 | 法则 |
|---|---|---|
| 法则 1 | 根轨迹的起点和终点 | 根轨迹起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括无限零点） |
| 法则 2 | 根轨迹的分支数，对称性和连续性 | 根轨迹的分支数等于开环极点数 \(n(k>m)\)，或开环零点数 \(m(m>n)\) 根轨迹对称于实轴 |
| 法则 3 | 根轨迹的渐近线 | \(n-m\) 条渐近线与实轴的交角和交点为 \(\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m} \quad (k=0,1,\ldots,n-m-1)\) \(\sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i - \sum_{j=1}^{m} z_j}{n-m}\) |
| 法则 4 | 根轨迹在实轴上的分布 | 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹 |
| 法则 5 | 根轨迹的分离点与分离角 | \(l\) 条根轨迹分支相遇，其分离点坐标由 \(\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{d-z_i} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{d-p_j}\) 确定；分离角等于 \((2k+1)\pi/l\) |
| 法则 6 | 根轨迹的起始角与终止角 | 起始角： \(\theta_{p_i} = (2k+1)\pi + \left(\sum_{j=1}^{m} \varphi_{z_j} p_i - \sum_{\substack{j=1 \ j \neq i}}^{n} \theta_{p_j} p_i \right)\) 终止角： \(\varphi_{z_i} = (2k+1)\pi - \left(\sum_{\substack{i=1 \ i \neq j}}^{m} \varphi_{z_i} z_i - \sum_{j=1}^{n} \theta_{p_j} z_i \right)\) |
| 法则 7 | 根轨迹与虚轴的交点 | 根轨迹与虚轴交点的 \(K^*\) 值和 \(\omega\) 值，可利用劳斯判据确定 |
| 法则 8 | 根之和 | \(\sum_{i=1}^{n} s_i = \sum_{i=1}^{n} p_i\) |
